Fibonacci sekvencia, špirály a zlatý priemer
Sekvencia Fibonacciho vykazuje určitý číselný vzor, ktorý vznikol ako odpoveď na cvičenie v prvom texte strednej školy v algebri. Tento vzor sa ukázal byť zaujímavý a dôležitý ďaleko nad rámec toho, čo si jeho tvorca predstavoval. Môže sa použiť na modelovanie alebo popísanie úžasnej rôznorodosti javov, z matematiky a vedy, umenia a prírody. Matematické nápady, ku ktorým smeruje Fibonacciho postupnosť, napríklad zlatý pomer, špirály a podobné krivky, sa už dlho ocenia za ich šarm a krásu, ale nikto nedokáže vysvetliť, prečo sú tak zreteľne odrážané vo svete umenia a prírode.
Príbeh sa začal v roku 1102 v Pise v Taliansku. Leonardo Pisano Bigollo bol mladým mužom dvadsiatych rokov, členom významnej obchodnej rodiny v Pise. Vo svojich cestách po celom Blízkom východe bol zaujatý matematickými myšlienkami, ktoré prišli na západ od Indie cez arabské krajiny. Keď sa vrátil do Pise, zverejnil tieto nápady v knihe o matematike Liber Abaci, ktorá sa stala medzníkom v Európe. Leonardo, ktorý sa odvtedy stal známy ako Fibonacci, sa stal najslávnejším stredovekom matematikom. Jeho kniha bola diskurzom o matematických metódach v obchode, ale teraz sa pamätal hlavne na dva príspevky, jeden vtedy dôležitý a jeden zdanlivo nevýznamný.
Dôležitý: upozornil Európu na hinduistický systém pre písanie čísel. Európski obchodníci a učenci sa stále držali používania starých rímskych číslic; moderná matematika by bola bez tejto zmeny v hinduistickom systéme, ktorú teraz nazývame arabskou notáciou, neprípustná, pretože prišla na západ cez arabské krajiny.
Druhý: skrytý v zozname mozgov, Fibonacci položil nasledujúcu otázku:
Ak je pár králikov umiestnený v uzavretom priestore, koľko králikov sa tam narodí, ak predpokladáme, že každý pár pár králikov produkuje ďalší pár a že králiky začnú nosiť mladé dva mesiace po narodení?
Táto zjavne nevinná malá otázka má ako odpoveď určitú sekvenciu čísel známu teraz ako sekvenciu Fibonacci, ktorá sa ukázala byť jedným z najzaujímavejších, kedy bol napísaný. To bolo znovuobjavené v ohromujúcom množstve foriem, vo veciach matematiky nad rámec jednoduchých aritmetických. Jeho spôsob vývoja viedol k ďalekosiahlym aplikáciám v matematike a informatike.
Ale ešte fascinujúcejšie je prekvapujúci vzhľad čísiel Fibonacciho a ich pomerov v arénach vzdialených od logickej štruktúry matematiky: v prírode av umení v klasických teóriách krásy a proporcie.
Zvážte elementárny príklad geometrického rastu – nerozmnoženú reprodukciu, podobne ako améba. Každý organizmus sa rozdelí na dva po intervale dozrievania charakteristického pre daný druh. Tento interval sa líši náhodne, ale v určitom rozsahu podľa vonkajších podmienok, ako je teplota, dostupnosť živín atď. Dokážeme si predstaviť zjednodušený model, v ktorom sa v dokonalých podmienkach rozdelia všetky améby po rovnakom časovom období rastu.
Takže jeden amoeb sa stáva dvoma, dva sa stávajú 4, potom 8, 16, 32 a tak ďalej.
Získame zdvojnásobenie. Všimnite si rekurzívny vzorec:
- An =2An
To samozrejme vedie k exponenciálnemu rastu, jeden charakteristický model rastu populácie.
Teraz v situácii králika Fibonacciho existuje faktor oneskorenia; každý pár potrebuje nejaký čas na zrelosť. Takže predpokladáme
- doba dozrievania = 1 mesiac
- gestačný čas = 1 mesiac
Ak by ste to mali vyskúšať vo vašom dvore, tu by sa mohlo stať:
Teraz nechajte počítač nakresliť ešte niekoľko riadkov:
Vzor, ktorý tu vidíme, spočíva v tom, že každá kohorta alebo generácia zostávajú súčasťou ďalšieho a navyše každý dospelý pár prispieva k páru detí. Počet takýchto detských párov sa zhoduje s celkovým počtom dvojíc v predchádzajúcej generácii. Symbolicky
- fn = počet párov počas mesiaca n
- fn = fn-1 + fn-2
Takže máme rekurzívny vzorec, v ktorom je každá generácia definovaná z hľadiska predchádzajúcich dvoch generácií. Pomocou tohto prístupu môžeme postupne vypočítať fn pre toľko generácií, koľko chceme.
Takže táto sekvencia čísel 1,1,2,3,5,8,13,21,… a rekurzívny spôsob jej konštruovania ad infinitum, je riešením puzzle Fibonacciho. Ale to, čo Fibonacci nemohol predvídať, bolo nespočetné množstvo aplikácií, ktoré by tieto čísla a táto metóda mali nakoniec. Jeho myšlienka bola úrodnejšia ako jeho králi. Práve z hľadiska čistej matematiky – teórie čísel, geometrie atď. – rozsah jeho myšlienky bol taký veľký, že sa venoval celý odborný časopis – Fibonacci štvrťročne.
Teraz sa pozrime na inú primerane prirodzenú situáciu, keď sa objaví tá istá sekvencia “záhadne”. Vráťte sa späť 350 rokov do 17. storočia vo Francúzsku. Blaise Pascal je mladý Francúz, učenec, ktorý je roztrhnutý medzi svojou radosťou z geometrie a matematiky a jeho láskou k náboženstvu a teológii. V jednom z jeho svetových momentov je konzultovaný priateľ, profesionálny hráč, Chevalier de Mé ré, Antoine Gombaud. Chevalier sa pýta Pascala na otázky o hrách na kockách a kartách ao správnom rozdelení stávok v nedokončenom zápase. Pascalova odpoveď je vymyslieť úplne novú oblasť matematiky, teóriu pravdepodobnosti. Táto teória sa v priebehu rokov rozrástla do dôležitého nástroja 20. storočia pre vedu a spoločenské vedy. Pascalova práca sa naozaj nakloní k zbierke čísel, ktoré sa teraz nazýva Pascalov trojuholník a reprezentuje sa takto:
Táto konfigurácia má mnoho zaujímavých a dôležitých vlastností:
- Všimnite si pravostrannú symetriu – je to vlastný zrkadlový obraz.
- Všimnite si, že v každom riadku druhé číslo počíta riadok.
- Všimnite si, že v každom riadku, druhý + tretí počítá počet čísel nad týmto riadkom.
Na túto tému sú nekonečné variácie.
Ďalej si všimnite, čo sa stane, keď pridáme čísla v každom riadku – získame našu zdvojenú postupnosť.
Teraz pre vizuálne pohodlie nakreslite trojuholník vľavo. Pridajte čísla na rôzne diagonály…
a dostaneme 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . sekvencia Fibonacci!
Fibonacci nemohol vedieť o tejto súvislosti medzi jeho králikmi a teóriou pravdepodobnosti – teória neexistovala až o 400 rokov neskôr.
Čo je naozaj zaujímavé o sekvencii Fibonacciho, je to, že jej štruktúra rastu tajomným spôsobom zodpovedá silám, ktoré riadia rast vo veľkom množstve prírodných dynamických systémov. Podobne ako pri reprodukcii králikov, pozrime sa na rodokmeň včiel – a tak sa pozeráme skôr na predkov než na potomkov. V zjednodušenom reprodukčnom modeli mužské včelie poklopy z neoplodneného vajíčka a tak má len jedného rodiča, zatiaľ čo samičie šrafy z oplodneného vajíčka a má dvoch rodičov. Tu je rodokmeň typického včiel:
Všimnite si, že to vyzerá ako bunny graf, ale pohybuje sa dozadu v čase. Samci predkov v každej generácii tvoria sekvenciu Fibonacciho, rovnako ako aj predkovia, rovnako ako celok. Z stromu vidíte, že včelárska spoločnosť dominuje ženu.
Najznámejšie a najkrajšie príklady výskytu sekvencie Fibonacciho v prírode sa nachádzajú v rôznych stromoch a kvetoch, všeobecne spojených s nejakou špirálovou štruktúrou. Napríklad listy na stonke kvetu alebo vetvy stromu často rastú v špirálovitom vzore, ktoré sa otáčajú po vetve, keď sa formujú nové listy. Zobrazte si toto: Máte vetvu v ruke. Zamerajte svoju pozornosť na daný list a začnite počítať okolo a von. Spočítajte listy a tiež počítajte počet závitov okolo vetvy, kým sa nevrátite do polohy zodpovedajúcej pôvodnému listu, ale ďalej pozdĺž vetvy. Obidve čísla budú čísla Fibonacci.
Napríklad pre hrušku bude 8 listov a 3 otáčky. Tu sú ďalšie príklady:
| Pobočky rodiny Fibonacci | ||
|---|---|---|
| Strom | Listy | Zákruty |
| Brest | 2 | 1 |
| Čerešňa | 3 | 2 |
| Buk | 3 | 1 |
| Topoľ | 5 | 2 |
| Plávajúce vŕba | 8 | 3 |
| Hruška | 8 | 3 |
| Mandle | 13 | 8 |
Môžete si prechádzať v parku a nájsť tento vzor na rastlinách a kríkoch docela ľahko.
Veľa kvetov ponúka krásne potvrdenie myslenia Fibonacci. Sedmokráska má centrálne jadro pozostávajúce z malých floretov usporiadaných v protiľahlých špirálach. Tam sú zvyčajne 21 ísť doľava a 34 doprava. Horská aster môže mať 13 spirálov vľavo a 21 vpravo. Slnečnice sú najpôsobivejším príkladom, zvyčajne majú 55 špirálov jedným smerom a 89 v druhom; alebo v najkvalitnejších odrodách 89 a 144.
Borovicové kužele sú taktiež konštruované špirálovito, malé sú bežne s 8 špirálami jedným smerom a 13 druhými. Najzaujímavejšie je ananás – postavený zo susedných šesťuholníkov, tri druhy špirál sa objavujú v troch rozmeroch. Tam je 8 vpravo, 13 vľavo a 21 zvislo – trojitý Fibonacci.
Prečo by to malo byť? Prečo matka príroda našla evolučnú výhodu pri usporiadaní rastlinných štruktúr v špirálovitých tvaroch s postupnosťou Fibonacciho?
Nemáme istú odpoveď. V roku 1875 matematik Wiesner poskytol matematickú demonštráciu, že skrutkovité usporiadanie listov na vetve v pomere Fibonacci bolo efektívnym spôsobom, ako získať maximálne množstvo slnečného svetla s niekoľkými listami – tvrdil to najlepšie. Nedávno sa však botanik z Cornellskej univerzity Karl Niklas rozhodol testovať túto hypotézu vo svojej laboratóriu; zistil, že takmer každé primerané usporiadanie listov má rovnakú schopnosť zhromažďovať slnečné svetlo. Takže sme stále v temnote o svetle.
Ak však z hľadiska prirodzených rastových modelov myslíme, myslím, že môžeme začať chápať prítomnosť špirál a spojenie medzi špirálami a sekvenciou Fibonacciho.
Spirály vznikajú z vlastností rastu nazývaného vlastnou podobnosťou alebo škálovaním – tendenciou rásť vo veľkosti, ale zachovať si ten istý tvar. Nie všetky organizmy rastú v tomto seba-podobnom spôsobe. Vidíme, že napríklad dospelí ľudia nie sú len vyškolené deti: deti majú väčšie hlavy, kratšie nohy a dlhšie trupu vzhľadom na ich veľkosť. Ale ak sa pozrieme napríklad na plášť komory nautilus, vidíme rozdielny rastový model. Keď nautilus vyrastie každú komoru, staví si nové komory pre seba, vždy rovnaký tvar – ak si predstavíte, že nautilus je veľmi dlhý, jeho škrupina by sa točila okolo a okolo, čoraz väčšia, ale vždy vyzerala presne rovnaká v každom meradle.
Tu je miesto, kde Fibonacci prichádza – môžeme vytvoriť násobný druh nautilus tým, že začíname s námestím veľkosti 1 a postupne stavajú na nových miestnostiach, ktorých veľkosti zodpovedajú sekvencii Fibonacci:
Prechádzajúce cez stredy štvorcov v poradí s hladkou krivkou získame špirálu nautilus = slnečnicovú špirálu.
Je to špeciálna špirála, sama podobná krivka, ktorá si udržuje svoj tvar vo všetkých stupniciach (ak si to predstavíte, že sa navždy vyvíja). Je nazývaná ako rovnoramenná, pretože radiálna čiara zo stredu robí vždy rovnaký uhol ako krivka. Táto krivka bola známa Archimedes starovekého Grécka, najväčší geometer staroveku, a možno aj všetkých čias.
Mali by sme naozaj myslieť na túto krivku tak, že sa špirála smerom dovnútra aj von. Je ťažké kresliť; môžete vidieť vírenie vody okolo malého odtokového otvoru, ktorý sa priťahuje bližšie, keď sa točí, ale nikdy nepadá. Tento efekt je ilustrovaný iným klasickým mozgovým príveskom:
Na štyroch rohoch štvorca stojí štyri chyby. Sú hladní (alebo osamelí) a v tom istom okamihu vidia chybu v ďalšom rohu a začnú sa plaziť smerom k nej. Čo sa stane?
Obraz rozpráva príbeh. Keď sa plavajú smerom k sebe, spirálovito smerujú do stredu, vždy vytvárajú stále menšie námestie a navždy sa točia okolo seba. Napriek tomu sa dostanú k sebe! Toto nie je paradox, pretože dĺžka tejto špirály je konečná. Vyznačujú rovnakú rovnícku špirálu.
Teraz, pretože všetky tieto špirály sú podobné sebe samému, vyzerajú rovnako v každom merítku – na stupnici nezáleží. Dôležité je pomer – tieto špirály majú pevný pomer určujúci ich tvar. Ukazuje sa, že tento pomer je rovnaký ako pomery generované po sebe nasledujúcimi záznamami v sekvencii Fibonacci: 5: 3, 8: 5,13: 8 a tak ďalej. Tu je výpočet:
Fibonacci proporcie
Pokiaľ ideme ďalej v postupnosti, proporcie susedných výrazov sa začínajú približovať pevnej limitnej hodnote 1,618034. , , Toto je veľmi známy pomer s dlhou a čestnou históriou; Zlatý priemer Euclid a Aristoteles, božský podiel Leonardo daVinci, považovaný za najkrajšie a najdôležitejšie množstvo. Toto číslo má viac tantalizačných vlastností, než si dokážete predstaviť.
Jednoduchým výpočtom vidíme, že ak odčítame 1, dostaneme .618 . . čo je jeho recipročné. Ak pridáme 1, dostaneme 2.618 . . . čo je jeho štvorec.
Pomocou tradičného názvu tohto čísla môžeme písať symbolicky grécke písmeno f (“phi”):
Riešenie tejto kvadratickej rovnice získame
Tu sú niektoré ďalšie podivné, ale fascinujúce výrazy, ktoré možno odvodiť:
, nekonečná kaskáda štvorcových koreňov.
, nekonečná kaskáda zlomkov.
Pomocou tohto zlatého pomeru ako nadácie môžeme vytvoriť explicitný vzorec pre čísla Fibonacci:
Vzorec pre čísla Fibonacci:
Gréci však mali vizuálnejší pohľad na zlatý priemer. Spýtali sa: čo je najprirodzenejší a najprimeranejší spôsob rozdelenia linky na 2 kusy? Nazvali to sekciu. Gréci cítili silne, že ideál by mal zodpovedať podielu medzi časťami a podielom častí na celku. Výsledkom je presne časť f.
Vytváranie obdĺžnika s úsečkami čiary ako strany vedie k vizuálne príjemnému tvaru, ktorý je základom ich umenia a architektúry. Táto estetika bola prijatá veľkými renesančnými umelcami v ich maľbe a je stále s nami.
Dan Reich
Katedra matematiky, Temple University